Misc Solutions

Rationalize 3.1415986535353535353535353535`15.

(31415986/10000000) + (((53/1000000000))/((99/100)))

N[(3110182667/990000000), 15]

Proof in part a of 11.2, #72

Let ϵ > 0.  Since (lim_(n -> ∞)) (Subscript[a, 2  n]) = L, there exists (Subscript[N, 1]) such that | (Subscript[a, 2  n]) - 
          L |<ϵ  for n>(Subscript[N, 1]).  Since (lim_(n -> ∞)) (Subscript[a, 2  n - 1]) = 
        L, there exists (Subscript[N, 2]) such that \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(a\_\(2  n - 1\) - 
          L\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(ϵ\ \ \ for\ n\)\(>\)\(N\_1\)\)\)\).  Let N = max {(Subscript[N, 1]), (Subscript[N, 2])} and let n > N.  If n os even then n = 2  m where m > (Subscript[N, 1]), so | (Subscript[a, n]) - 
            L | = | (Subscript[a, 2  m]) - 
            L |<ϵ.  If n is odd, then n = 2  m - 1, where m > (Subscript[N, 2]), so | (Subscript[a, n]) - 
            L | = | (Subscript[a, 2  m - 1]) - 
            L |<ϵ.  Therefore (lim_(n -> ∞)) (Subscript[a, n]) = L.

155/220 // N